May

Permission

May + infinitif est employé, tout comme can , pour exprimer la permission (l'autorisation) dans les phrases assertives et interrogatives :

You may watch television if you've finished your homework.
Tu peux regarder la télévision si tu as terminé tes devoirs.

May I see your passports, please ?
Puis-je vois vos passeports, s'il vous plaît ?

L'absence de permission est plutôt exprimée par can + not ou be not allowed. L' interdiction par must + not :

You cannot see her now. She's busy.
Tu ne peux pas la voir maintenant.  Elle est occupée.

We are not allowed to leave the school during recess.
Il ne nous est pas permis de quitter l'école pendant la récréation.

One must not enter the mosque with one's shoes on.
On ne doit pas entrer dans la mosquée en portant ses chaussures.

Usage poli

Might est employé dans les propositions principales comme équivalent prudent et poli de may. Dans les subordonnées, might est employé comme passé de may. Dans les temps et formes ou may est défectif, on emploie be allowed to + infinitif :

Might I venture a suggestion ?
Me permettriez-vous de faire une suggestion ?

I wondered if we might join you for the trip.
Je me demandais si nous pourrions nous joindre à vous pour le voyage.

Would you be allowed to come home after midnight ?
Te permettrait-on de rentrer après minuit ?

Eventualité ("possibilité logique")

May est l'auxiliaire le plus fréquemment employé pour exprimer l'éventualité. Dans ce sens il peut être contrasté avec can:

The mountain road may be closed. 
Il se peut que la route de montagne soit barrée.

The mountain road can be closed. 
Il est possible de barrer la route de montagne.

Dans la proposition principale, might exprime l'éventualité avec plus de prudence. Dans les subordonnées, il fonctionne comme équivalent de may au passé. Dans les temps et formes ou may est défectif, on emploie be possible to + infinitif. :

It might rain on Sunday.
Il se pourait qu'il pleuve, dimanche.

He insinuated that your calculations might be wrong.
Il insinua que vos calculs pouvaient être faux.

It would be possible to close the road if the weather conditions demanded it.
Il serait possible de barrer la route si les conditions météo l'exigeaient.

May suivi d'un infinitif parfait exprime une éventualité passée. Might + infinitif parfait une éventualité non réalisée:

He may have forgotten about the appointment.
ll se peut qu'il ait oublié le rendez-vous.

They might have drowned if I had not seen them.
lls auraient pu se noyer si je ne les avais pas vus.

L'éventualité négative est exprimée par may not ; l'absence d'éventualité (= impossibilité) par cannot.

He may not be the man we're looking for.
ll se peut que ce ne soit pas l'homme que nous recherchons.

He cannot be the man we're looking for.
ll n'est pas possible que ce soit l'homme que nous recherchons.

May exprimant l'éventualité n'apparaît pas à l'interrogatif. Might est rare dans cette structure :

Might he be the boy of my dreams ?
Se pourrait-il que ce soit le garçon de mes rêves ?

Do you think we might solve the problem ?
Croyez-vous que nous pourrions résoudre le problème ?

Autres emplois:

Souhait

May est une des façons possibles d'exprimer un souhait. Dans ce cas, il y a inversion du sujet et du verbe dans les propositions principales, mais pas dans les subordonnées :

May you succeed !
Puisses-tu réussir !

May they be happy forever !
Puissent-ils être heureux pour toujours !

May we have better luck next time !
Puissions-nous avoir plus de chance ma prochaine fois !

I wish that you may succeed !
Je te souhaite de réussir !

Concession

May et might peuvent être employés pour exprimer une concession ou la résignation :

You may believe he's a fool, but I don't think he is.
Tu crois peut-être (Tu as beau croire) qu'il est fou, mais je ne pense pas qu'il le soit.

We might as well go home.  We have waited long enough.
Autant rentrer chez nous.  Nous avons attendu assez longtemps.