That

De nombreuses subordonnées sont introduites par that, qui peut fonctionner comme conjonction et comme pronom relatif, mais qui peut être supprimé dans certaines conditions ou remplacé par le relatif zéro :

Conjonction introduisant une subordonnée sujet

That you're only sixteen is not a problem for us.
Que tu n'aies que seize ans ne nous pose pas de problème.

It is true that you're in a better position than most of us (= sujet extraposé).
Il est vrai que tu es mieux placé que la plupart d'entre nous.

Conjonction introduisant une subordonnée objet

Everyone believed that she was telling the truth.
Tout le monde croyait qu'elle disait la vérité.

She insisted that the children should not be left unsupervised.
Elle insista que les enfants ne devaient pas être laissés sans surveillance.

They found it unacceptable that all the wine had already been drunk before noon.
Ils trouvèrent inacceptable que tout le vin avait déjà été bu avant midi.

Omission de that (= "conjonction zéro")

Dans le discours informel, la conjonction that peut être omise (= "conjonction zéro"), mais dans l'anglais écrit, cette omission peut nuire à la clarté :

I believe (that) you're lying
Je crois que tu mens.

I believe in the revolution, great changes will take place (≠ "I believe in the revolution" = "Je crois à la révolution" !)
=> I believe that in the revolution, great changes will take place.
Je crois qu'au cours de la révolution, de grands changements auront lieu.

We know all South Africans and indeed the world will miss Mandela. (≠ "We know all South Africans" = "Nous connaissons tous les Sud-africains" !)
=> We know that all South Africans and indeed the world will miss Mandela.
Nous savons que Mandela manquera à tous les Sud-africains et même au monde entier.

Note contrastive sur la ponctuation

Au contraire de l'allemand, l'anglais n'emploie pas de virgule avant le that  introduisant une subordonnée objet :

I know (that) it's late already (pas de virgule après "know").
=> Ich weiß, daß es schon spät ist.

Conjonction introduisant une subordonnée attribut

The problem is that she is not willing to leave. 
Le problème est qu'elle n'est pas disposée à partir.

Conjonction introduisant une => adnominale explicative

The fact that you're a foreigner makes no difference whatsoever.
Le fait que tu sois étranger ne fait aucune différence.

Choix du pronom relatif

En principe, le pronom relatif that n'introduit que des relatives restrictives. Les non restrictives (explicatives) sont introduites par un pronom en wh- après une virgule.

The advice that the doctor gave me last month.
Les conseils que le médecin m'a prodigués le mois dernier.

My father, who died in World War II, was never to know his grandchildren.
Mon père, qui mourut dans la seconde guerre mondiale, ne connaîtrait jamais ses petits-enfants.

En position objet, le pronom that peut être omis dans le discours informel:

The girl Ø I met yesterday is called Sally.
La fille que j'ai rencontrée hier s'appelle Sally.

All Ø you need is love, love is all Ø you need.
Tout ce dont on a besoin, c'est l'amour,  l'amour, c'est tout ce qu'il faut.

The goods (that) we ordered last month.
Les marchandises que nous avons commandées le mois dernier.

The issues (that) we discussed at the last meeting.
Les questions dont nous avons débattu à la dernière réunion.

mais dans le langage écrit, cette omission peut nuire à la clarté :

The boat people sailed to Hong Kong yesterday 
peut signifier :
=> The boat that people sailed to Hong Kong yesterday,
= "Le bateau qu'ont pris les gens pour naviguer vers Hong Kong",
ou:
The boat people sailed to Hong Kong yesterday, 	
= "Les boat people (= réfugiés du sud-est asiatique) ont navigué vers Hong Kong hier".

Note contrastive sur la traduction de "que"

Si de nombreuses occurrences de "that" conjonction et pronom peuvent se traduire par "que", toutes les occurrences de "que" ne sont pas traduisibles par "that", par exemple dans les subordonnées de complémentation de l'adjectif:

Ne mets pas plus sur ton assiette que tu ne peux manger.
Don't put more on your plate than you can eat.

Elle était beaucoup plus intelligente que je ne l'avais imaginé.
She was much smarter than I had imagined.

La nourriture était encore plus mauvaise que je ne l'avais craint.
The food was even worse than I had feared.

Adjectif démonstratif

My father, that unforgettable hero ...
Mon père, ce héros inoubliable ...

Pronom démonstratif

If you don't pay up, you'll be in serious trouble.  Let me tell you that.
Si tu ne me paies pas, tu vas avoir un gros problème.  Laisse-moi te dire ça.

The most famous white beer is that (the one) brewed in Hoegaarden.
La bière blanche la plus célèbre est celle brassée à Hoegaarden.

Adverbe

Les adjectifs démonstratifs singuliers peuvent être convertis en adverbes qualifiant des adjectifs. Ils reçoivent alors une forte intonation :

Nobody can be that stupid !
Personne ne peut être si bête que ça ! 

I have trouble believing he is that brilliant
J'ai du mal à croire qu'il est si brillant que ça !

I must confess I'm not all that delighted with your idea to take them along on holiday.
Je dois avouer que je ne suis pas si ravi que ça de ton idée de les emmener en vacances.