Possibilité

Can et may et leurs formes du passé, could et might, expriment différentes nuances de possibilité, de capacité ou de permission. Ils se conjuguent toujours comme des auxiliaires / opérateurs et se combinent avec des infinitifs.

Nuances de possibilité

On peut distinguer les nuances suivantes :

Possibilité physique ou capacité

I can repair the broken vase with some glue.
Je peux réparer le vase cassé avec de la colle.

The rain can do plenty of damage to the crops.
La pluie peut faire de gros dégâts aux récoltes.

They could run faster when they were young.
Ils pouvaient courir plus vite lorsqu'ils étaient jeunes.

Possibilité morale ou permission / autorisation

You can / may go home as soon as you've finished your work.
Tu peux rentrer chez toi dès que tu as terminé ton travail.

Can / May I use your telephone ?
Puis-je employer votre téléphone ?

Mother said we could use her car if necessary.
Maman a dit que nous pouvions employer sa voiture si nécessaire.

Could she possibly run an errand for me ?
Pourrait-elle éventuellement faire une commission pour moi ?

Possibilité logique ou éventualité

Les adverbes caractéristiques de la possibilité logique sont maybe, perhaps et possibly (= "peut-être");  maybe appartient plutôt à la conversation informelle, perhaps et possibly reflètent davantage de maturité logique et linguistique.  
Attention: "éventuellement" ne se traduit pas par eventually.

She didn't answer my call.  She might be on holiday.  (plutôt que "Maybe she is on holiday")
Elle n'a pas répondu à mon appel.  Elle pourrait être en vacances.

You might be right after all ! (plutôt que "Maybe you're right")
Tu pourrais avoir raison, après tout !

She could finish the job in two hours or so.
Il se pourrait qu'elle termine le travail en deux heures environ.

It can't be true :  I have plenty of evidence to the contrary.
Il n'est pas possible que ce soit vrai : j'ai plein de preuves du contraire.