Au demeurant

Au demeurant est un coordonnant qui est utilisé pour introduire dans un développement un élément à titre complémentaire, portant sur un aspect de la question qui n'a pas encore été envisagé et qui n'est pas nécessairement utile à la bonne compréhension du propos :

L'équipe d'Écosse a remporté une belle victoire, au demeurant amplement méritée.
La voiture de Lou, au demeurant très bien entretenue, est à nouveau en panne au milieu du carrefour.

De ce sens d'extension du propos à une information nouvelle découle son utilisation contrastive pour réfuter une conclusion qui pourrait s'imposer avec trop d'évidence :

Ce sont deux adversaires farouches sur le terrain, au demeurant excellents amis dans la vie.
En excluant les deux joueurs, l’arbitre a sanctionné sévèrement, au demeurant équitablement les deux équipes.

En ce sens, voir aussi toutefois, néanmoins, cependant.