Excuses

I'm sorry

En général, des excuses peuvent s'exprimer par sorry tout seul ou, (comme to regret) suivi d'une subordonnée objet introduite par that ou une conjonction zéro, ou une subordonnée infinitive :

I'm sorry: please accept my apology.
Je suis désolé. Veulliez accepter mes excuses.

I'm sorry (that) I couldn't make it on time.
Je suis navré de ne pas avoir pu arriver à temps.

Sorry to disturb you, but you're needed in the kitchen.
Navré de vous déranger, mais on a besoin de vous à la cuisine.

We regret that we cannot refund or exchange tickets.
Nous regrettons de ne pas pouvoir rembourser ou échanger les tickets.

Your son, I regret to say, is not taking his studies seriously.
Votre fils, à mon grand regret, ne prend pas ses études au sérieux. 

Excuse me !

On emploie Excuse ↗me ! avec une intonation montante pour attirer l'attention de quelqu'un, ou l'interrompre dans une conversation / activité:

Excuse me, could I just add a small remark.
Excusez-moi, su je pouvais juste ajouter une petite remarque.

On emploie aussi Ex↘cuse ↘me ! avec une forte intonation lorsqu'on a fait quelque chose d'impoli ou d'embarrassant (éternué, roté, peté, ...) en compagnie.

Apologise / apologize

Apologise (présenter ses excuses, demander pardon) peut s'employer tout seul, ou complémenté par un groupe prépositionnel ou une subordonnée gérondive introduite par for:

I don't feel guilty, but I think it would be wise to apologise nevertheless.
Je ne me sens pas coupable, mais je crois qu'il serait sage de présenter mes excuses quand même.

She apologized for her late arrival.
Elle s'excusa pour son arrivée tardive.

I would like to apologize for hurting your feelings.
Je voudrais vous demander pardon de vous avoir offensé.