Excuses

I'm sorry

En général, des excuses peuvent s'exprimer par sorry tout seul ou, (comme to regret) suivi d'une subordonnée objet introduite par that ou une conjonction zéro, ou une subordonnée infinitive :

I'm sorry: please accept my apology.
Je suis désolé. Veulliez accepter mes excuses.

I'm sorry (that) I couldn't make it on time.
Je suis navré de ne pas avoir pu arriver à temps.

We regret that we cannot refund or exchange tickets.
Nous regrettons de ne pas pouvoir rembourser ou échanger les tickets.

Your son, I regret to say, is not taking his studies seriously.
Votre fils, à mon grand regret, ne prend pas ses études au sérieux. 

Excuse me

On emploie Excuse me ! pour attirer l'attention de quelqu'un, ou l'interrompre dans une conversation / activité:

Excuse me, could I just add a small remark.
Excusez-moi, su je pouvais juste ajouter une petite remarque.

On emploie aussi Ex↘cuse ↘me ! avec une forte intonation lorsqu'on a fait quelque chose d'embarrassant (éternué, roté, peté, ...) en compagnie.