Auxiliaires d'obligation: should, ought

Attention: ought s'écrit aves deux voyelles, mais n'est pas prononcé avec une diphtongue. La voyelle est la même que dans "or".

Suggestions, conseils, recommandations

Should et (plus rarement) ought to + infinitif expriment une suggestion, une préférence, un conseil ou recommandation. En ce sens, ils sont souvent employés pour donner un ordre poli ou atténuer une exigence.
Ought est plus condescendant et moralisateur que should, mais est préféré pour les conseils de santé.

Applications should be sent to the address above.
Les candidatures doivent être envoyées à l'adresse ci-dessus.

You really shouldn't use such words.
Tu devrais vraiment éviter d'employer des mots pareils.

One ought to refrain from using such offensive forms of speech.
L'on devrait s'abstenir de l'emploi de formes de langage aussi choquantes.

You ought to give up smoking.
Tu devrais t'arrêter de fumer.

Should et (plus rarement) ought to suivis de l'infinitif parfait indiquent une référence au temps passé, et suggère souvent un conseil etc. non suivi, ou une action non réalisée, et peut de ce fait exprimer un regret ou un reproche :

Candidates should preferably have worked in the sector before.
Les candidats doivent de préférence avoir déjà travaillé dans le secteur.

They should have warned us a few days in advance.
Ils auraient dû nous prévenir quelques jours à l'avance.

I should have sent a birthday card to my sister.
J'aurais dû envoyer une carte d'anniversaire à ma soeur.

You oughtn't to have taken that medication without a doctor's advice.
Tu n'aurais pas dû prendre ces médicaments sans avis médical.

Probabilité

Should et (plus rarement) ought to + infinitif peuvent exprimer une probabilité logique. Suivies d'un infinitif parfait, ces formes indiquent une probabilité non réalisée.

Drink a glass of warm milk.  That should help you to sleep.
Bois un verre de lait tiède.  Ça devrait t'aider à t'endormir.

There shouldn't have been any trouble.
(En principe) il n'y aurait pas dû y avoir de difficultés.

Autres emplois de should

Should en plus de ses fonctions d'auxiliaire et d'opérateur remplit encore d'autres fonctions, qui ne sont pas remplies par ought :

Subjonctif avec should

Dans la formation du subjonctif, notamment dans les propositions subordonnées après certains adjectifs et verbes; et dans la subordonnée conditionnelle hypothétique:

It is essential that everyone should be informed about this.
Il est essentiel que tout le monde soit informé de ceci.

I suggest that we should take another road.
Je propose qu'on prenne un autre chemin.

If he should show up nevertheless, ...
Si par hasard il se pointait néanmoins, ...

Here's some money, should you need some for the trip.
Voici un peu d'argent, pour le cas où tu en aurais besoin pour le voyage.

Après Why et How

Après Why ou How, should est employé (pas très aimablement) pour exprimer un doute ou un désaccord :

Why should I go to any trouble for you ?
Pourquoi devrais-je me donner du mal pour vous ?

Why should I be punished more than she ?
Pourquoi devrais-je être punie plus lourdement qu'elle ?

Why should I care ?  I don't even know you.
Que voulez-vous que ça me fasse ?  Je ne vous connais même pas.

How should I know ?
Comment voulez-vous que je sache ?