Would

Would est un auxiliaire-opérateur indiquant, notamment,

futur du passé

le futur du passé dans les propositions subordonnées :

"They will buy the stamps" => I thought they would buy the stamps.
Je croyais qu'ils achèteraient les timbres-poste.

conditionnel

le conditionnel présent (would + infinitif):

They would be nicer to us if they knew us better.
Ils seraient plus gentils avec nous s'ils nous connaissaient mieux.

If I were you, I would give it another thought before making a decision.
Si j'étais toi, j'y réfléchirais encore une fois avant de prendre une décision.

Le conditionnel passé (would + have + participe passé) est employé pour exprimer une non-réalisation rétrospective, notamment lorsque une condition ou hypothèse n'est pas remplie:

If I had had more money, I would have come.
Si j'avais eu plus d'argent, je serais venu.

If they had been faster, she would have survived.
S'ils avaient été plus rapides, elle aurait survécu.

comportement caractéristique

une habitude ou un comportement caractéristique dans le passé:

Whenever we had a chance, we would go downtown.
Nous descendions en ville chaque fois que nous en avions l'occasion.

auxiliaire de modalité de volonté

la modalité de volonté au temps passé, notamment dans les requêtes polies :

I told him to work faster, but he would not.
Je lui ai dit de travailler plus vite, mais il ne voulait pas.

Would  you please type this letter for me ?
Voudriez-vous bien me dectylographier cette lettre?

would rather

combiné avec l'adverbe rather, would auxiliaire de volonté, souvent réduit à 'd + infinitif ou + subordonnée avec verbe au prétérit exprime la préférence du locuteur:

I'd (= would) rather do that, she said.
J'aimerais mieux faire ça, dit-elle.

I would rather (sooner) lose my job than have to work with you again.
Je préfère perdre mon boulot plutôt que de devoir retravailler avec vous.

She'd (= would) rather you came on another day.
Elle aimerait mieux que tu viennes un autre jour.

Note: Il ne faut pas confondre 'd rather (would rather) qui exprime la préférence de l'orateur, et 'd better (had better), employé pour énoncer un conseil :

I'd rather (= would rather) you didn't spend all that money. You'd better (= had better) keep it for a rainy day.
J'aimerais autant que tu ne dépenses pas tout cet argent. Tu ferais bien de le garder comme une poire pour la soif.

We'd rather (= would rather) you didn't see that girl again.  You'd better (= had better) find yourself someone of your own kind.
On aimerait mieux que tu ne revoies plus cette fille.  Tu ferais mieux de te trouver quelqu'un de ta propre classe.