Oser

Le verbe oser, suivi d’un infinitif, sert à marquer l’audace de dire ou de faire quelque chose :

Mon petit-cousin n’ose pas descendre l’escalier tout seul.
Jules osera-t-il faire le premier pas ?

L’expression j’ose espérer que est utilisée spécifiquement pour exprimer la crainte ou l’appréhension qu’on éprouve face à une situation présente, passée ou à venir qui pourrait avoir des conséquences négatives :

J’ose espérer que tu portais tes lunettes de protection.
J’ose espérer que tu n’as rien à voir avec cette décision.
J’ose espérer que tu ne vas pas sortir sans bonnet.

Voir aussi Si j'osais