À la suite

À la suite est une expression du sens de ‘successivement’, ‘l’un après l’autre’ :

Mon chat a dévoré deux souris à la suite.
Le joueur a écopé de deux cartes jaunes à la suite.

De suite peut être utilisé avec le même sens :

Jules a oublié ses clés trois fois de suite.

mais peut être utilisé aussi avec le sens de ‘immédiatement après’ :

Je raccroche le téléphone et je vous confirme cela de suite par écrit.
Il lui a offert des fleurs, mais elles se sont fanées de suite.

et est dans ce cas un équivalent de tout de suite – comparez :

Dépêche-toi, le train part de suite.
Dépêche-toi, le train part tout de suite.