On the contrary

En anglais, On the contrary n'est employé que dans une proposition contradictoire:

– They are not very willing to collaborate, are they ?  – On the contrary, they are dying to help !
– Ils ne sont pas très chauds pour collaborer, hein ?  – Au contraire, ils n'attendent que de pouvoir aider !

Do you like oysters ? On the contrary, I am allergic to them. They give me a rash.
Est-ce que tu aimes les huîtres ?  Au contraire, j'y suis allergique. Elles me donnent des éruptions.

Pour une simple opposition, où le français emploierait "au contraire", l'anglais emploie on the other hand ou by contrast :

L'anglais de Pierre est excellent.  Celui de Jacques, au contraire, est atroce.
Peter's English is excellent.  James's, on the other hand, is atrocious.

En général, les gens se rendent compte que la cuisine est un lieu dangereux; la chambre d'un enfant, au contraire, leur semble sûre.
People generally realise the kitchen is a dangerous place; a child's bedroom, by contrast, seems safe.