On the contrary

En anglais, On the contrary n'est employé que dans une proposition contradictoire:

– They are not very willing to collaborate, are they ?  – On the contrary, they are dying to help !
– Ils ne sont pas très chauds pour collaborer, hein ?  – Au contraire, ils n'attendent que de pouvoir aider !

Pour une simple opposition, où le français emploierait "au contraire", l'anglais emploie on the other hand ou by contrast :

L'anglais de Pierre est excellent.  Celui de Jacques, au contraire, est atroce.
Peter's English is excellent.  James's, on the other hand, is atrocious.

People generally realise the kitchen is a dangerous place; a child's bedroom, by contrast, seems safe.
En général, les gens se rendent compte que la cuisine est un lieu dangereux; la chambre d'un enfant, au contraire, leur semble sûre.