Neither

Sur l'emploi de either dans les négations parallèles ("... non plus"), voir : => Négation parallèle: "... non plus".

I don't understand him either.
Je ne le comprends pas non plus.

Sur l'emploi de neither ... nor dans les négations parallèles ("ni… ni..."), voir : => Négation parallèle: "ni… ni...".

I can find neither the dog nor the cat.
Je ne peux trouver ni le chien, ni le chat.

Voir aussi: => pronoms négatifs.

Did you warn your parents ? - No, neither.
As-tu prévenu tes parents ? - Non, aucun des deux.

Déterminant

Either s'oppose à both et signifie "un des deux, soit l'un, soit l'autre"; toutefois, dans certains contextes, il peut signifier "et l'un et l'autre". Neither est la forme négative de either. Pour éviter la double négation, le reste de la phrase sera à la forme assertive:

Either candidate may win.
Chacun des (deux) candidats peut l'emporter.

Either dictionary will give you the answer.
Chacun des dictionnaires vous donnera la réponse.

Neither candidate is a great political figure.
Aucun des (deux) candidats n'est un homme politique de grand format.

Pronom

Tea or coffee ? — Either / Neither.
Du thé ou du café ? – N'importe lequel / Aucun des deux.

Either of us can do that for you.
Chacun de nous (l'un ou l'autre) peut faire cela pour vous.

We have two math teachers. I don't like either / I like neither of them. 
Nous avons deux profs de math.  Je n'aime aucun des deux.

Conjonction

Either ... or renforce le caractère contrastif d'une alternative :

Either you come with us, or you stay at home.  It's your choice.
Soit tu nous accompagnes, soit tu restes à la maison.  A toi de choisir.

Dans les contextes négatifs, l'anglais emploie neither ... nor ("ni ... ni"), ce qui dans le cas de la négation verbale pose la question de la portée de la négation.

He cannot walk  or run (et non pas nor run ).
Il ne peut marcher ou courir .

He can neither  walk nor run.
Il ne peut ni marcher ni courir.